<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Rsolution numrique de l'quation \( f ( x ) = 0 \)} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4}{IV  Mthode de Newton} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> IV-2  Illustration graphique</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Introduction}

\link{mainS2}{II  Mthode de dichotomie}

\link{mainS3}{III  Mthode de point fixe}

<div class="left_selection">\link{mainS4}{IV  Mthode de Newton}</div>

\link{mainS5}{V  Mthode de Lagrange}

\link{mainS6}{VI  Bibliographie}

\link{mainS7}{VII  Exercices}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">

\fold{mainS4S2F_code1}{<span class="code">Code Matlab</span>

}


 <div class="center">



<img src=\filedir/exemple8.jpg width=400mm,height=100mm>


</div>


\fold{mainS4S2F_exo1}{<span class="exo">Exercice Convergence locale de la mthode de Newton</span>

}



\fold{mainS4S2F_exo2}{<span class="exo">Exercice</span>

}




Dans ce qui prcde, nous avons suppos que la
fonction \( f \) dont nous sommes en train de chercher le zro
\( \alpha \) vrifiant 
<div class="math">\(
\displaystyle \left\{
\begin{matrix}  
f(\alpha) = 0  \\ 
f'(\alpha) \neq  0
\end{matrix}  
\right.
\)</div> 
\noindent autrement dit, \( \alpha \) est une racine simple de \( f  \). La
question qu'on doit se poser maintenant est: que se passe t-il quand
\( \alpha \) est une racine de \( f \) de multiplicit \( m \geq 2 \)?  Si on garde 
la mme fonction \( g \) que prcdement, la mthode de Newton perd son
caractre de convergence quadratique. En effet, on peut crire 
<div class="math">\(\displaystyle f(x) = (x-\alpha)^m h(x)\; \hbox{ avec }\; h(\alpha) \neq 0\)</div>
\noindent donc \\
\( \displaystyle g(x) = x-{(x-\alpha)^mh(x)\over
  m(x-\alpha)^{m-1}h(x)+(x-\alpha)^mh'(x)} = x-{(x-\alpha)h(x)\over
  mh(x)+(x-\alpha)h'(x)}  \) \\

\noindent \( \mbox { et }\; \; \; \displaystyle\lim_{x\longrightarrow\alpha}{g(x) -
  g(\alpha)\over x-\alpha} = 1-{1\over m} \neq 0 \newline \)

\noindent ce qui implique en terme de suite:
<div class="math">\(
\displaystyle \lim_{n \longrightarrow  +\infty} \frac {\left|  x_{n+1} - \alpha\right|}{\left|
x_n - \alpha \right|} < + \infty.
\)</div>
\noindent Ceci se traduit par une convergence linaire et pas du tout
quadratique. Pour rcuprer cette dernire, on fait appel  la
mthode de Newton <em><font color="green"> modifie</font></em>  .</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS4S1}{IV-1  Principe et convergence}

<div class="right_selection">\link{mainS4S2}{IV-2  Illustration graphique}</div>

\link{mainS4S3}{IV-3  Mthode de Newton modifie}

\link{mainS4S4}{IV-4  Thorme de convergence globale}

\link{mainS4S5}{IV-5  Test d'arrt}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>