<div class="preu">     Comme \( |g'(\alpha)|<1, \) il existe \( k\not = 0 \) tel que \( \displaystyle
  |g'(\alpha)|\leq k<1  \). De plus, \( g' \) est continue sur \( I \) donc il existe
  un voisinage \( \displaystyle V_{\alpha} = \left[ \alpha -h,\alpha +h \right] \subset I
  \; \left( h>0 \right) \) tel
  que 
  <div class="math">\(\forall  x \in V_{\alpha} , \; |g'(x)| \leq k<1 .\)</div> Donc \( g \) est
  \( k \)-contractante sur \( V_{\alpha}  \). En particulier, \( g(x) \in I \). 
Le thorme de point fixe appliqu
  localement  \( g \) dans le voisinage \(  V_{\alpha} \) implique que 
<div class="math">\(\forall\ x_0\in V_{\alpha}\ ,\ \ \lim_{n\longrightarrow +\infty}x_n = \alpha\)</div>

</div>