<div class="exo">    
<ol><li>  Trouver l'ordre des formule de : rectangle, trapze et Simpson.
 </li><li>  Pour \( \displaystyle f\in \mathcal{ C}^4([-1,1]) \). On pose 
<div class="math">\(\displaystyle E(f)=\int^1_{-1}f(x)\;dx-{2\over 6}[f(-1)+4f(0)+f(1)]\qquad\hbox{et}\qquad K_3(t)=E(x\longrightarrow (x-t)^3_+)\)</div>
Montrer que \( \displaystyle K_3(t)=\int^1_t(x-t)^3\;dx-2\left({2\over 3}t^3_-+{1\over 6}(1-t)^3\right) \).
 </li><li>  En dduire \( \displaystyle K_3(t)=-{1\over 12}(1-|t|)^3(1+|t|) \).
Calculer par deux mthodes diffrentes \( \displaystyle\int^1_{-1}K_3(t)dt \).
 </li><li>  Enoncer le thrme de Peano et montrer que si \( f\in \mathcal{ C}^4([a,b]) \) alors on a :
<div class="math">\(\displaystyle\left|\int^b_af(t)dt-{h\over
  6}\left(f(a)+2\sum^{n-1}_{k=1}f(a_k)+4\sum^{n-1}_{k=0}f\left(a_k+{b-a\over 2n}\right)+
  f(b)\right)\right|\leq\)</div>
\hfill<div class="math">\( \displaystyle{(b-a)^5\over 2880n^4}\sup_{[a,b]}|f^4(t)|\)</div>
 </li></ol>
</div>