<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Intgration numrique} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4}{IV  Etude de l'erreur d'une mthode de quadrature} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4S2}{IV-2  Estimation rigoureuse de l'erreur} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> IV-2-2  Majoration de l'erreur</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Introduction}

\link{mainS2}{II  Formules de quadrature et leur ordre}

\link{mainS3}{III  Mise en oeuvre sur Matlab}

<div class="left_selection">\link{mainS4}{IV  Etude de l'erreur d'une mthode de quadrature}</div>

\link{mainS5}{V  Exemples de calcul numrique de l'ordre}

\link{mainS6}{VI  Bibliographie}

\link{mainS7}{VII  Exercices}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">
Nous sommes maintenant en mesure d'estimer l'erreur commise pour
l'intervalle \( [a, \; b] \) tout entier et ceci pour une subdivision
arbitraire \( h_j = x_{j+1} -x_j \). Rappelons que, comme dans la  \link{mainS4S1S1}{formule}{Eq6},
l'erreur est donne par:

<div class="math"><a name="Eq9">\(  
E(f) = \int_a^b f(x) \; dx - \displaystyle \sum_{j=0}^{N-1} h_j \sum_{i=1}^{s}  b_i f(x_j + c_i h_j).  

 \)</div>
\noindent On a alors le thorme suivant:
<h2 class="thm">Thorme</h2><div class="thm">
Soit une formule de quadrature d'ordre \( p \) et un entier \( k \)
vrifiant \( k \leq p \). Considrons une fonction \( f: \; [a, \; b] \longrightarrow \mathbb R \) 
de classe \( \mathcal{ C}^k \). Alors l'erreur \( E(f) \) dfinie par 
la  \link{mainS4S2S2}{formule}{Eq9} vrifie 
l'estimation suivante:
<div class="math"><a name="Eq10">\(  
\left| E(f) \right| \leq h^{k} (b-a) \; \int_0^1 \left| N_k(s)\right|
\; ds \max_{x \in [a, \; b]} \left| f^{(k)}(x) \right| 

 \)</div>

o \( h= \displaystyle \max_j (h_j) \).
</div>




\fold{mainS4S2S2F_preu1}{<span class="preu">Preuve</span>

}




\fold{mainS4S2S2F_ex1}{<span class="ex">Exemple</span>

}



<h2 class="rmq">Remarque</h2><div class="rmq">
Le calcul de \( \displaystyle \int_0^1 |N_p(s)| \; ds \) pour ces formules n'est pas
difficile. Considrons par exemple la formule de Newton-Cotes avec
\( s = 5 \). Nous constatons que \( N_6(s) \) ne change pas de signe sur \( [0, \; 1] \)
et en utilisant la  \link{mainS4S2S1}{remarque}{rmq10}, nous obtenons:
<div class="math">\(
\begin{matrix} 
\displaystyle  \int_0^1 |N_6(s)| \; ds & = &   
\displaystyle  \int_0^1 N_6(s) \; ds \\
&&\\
& = &
\displaystyle  \frac{1}{6!}
 \left|
\displaystyle  \frac{1}{7} - 
 \left( 
\displaystyle  \frac{32}{90}  \left( \frac{1}{4} \right)^6 +
\displaystyle  \frac{12}{90} \left( \frac{1}{2} \right)^6 + \frac{32}{90} \left(
\displaystyle  \frac{3}{4} \right)^6 + \frac{7}{90} 1^6
 \right) 
 \right| \\
&&\\
& = &\displaystyle  \frac{1}{1935360}.
\end{matrix} 
\)</div>
</div>




\fold{mainS4S2S2F_exo1}{<span class="exo">Exercice</span>

}</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS4S2S1}{IV-2-1  Noyau de Peano}

<div class="right_selection">\link{mainS4S2S2}{IV-2-2  Majoration de l'erreur}</div>
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>