<div class="preu">    
La formule de Taylor avec reste intgral applique  \( f \) au point \( x_0 \) donne:
<div class="math">\(
f(x_0 + t \; h)= \displaystyle \sum^{k-1}_{j=0}\displaystyle \frac{(t\; h)^j}{j!} f^{(j)}(x_0) +
h^k \displaystyle \int_0^t \displaystyle \frac{(t-s)^{k-1}}{(k-1)!} f^{(k)}(x_0 + s \; h) \; ds 
\)</div>
En combinant cette dernire formule avec la  \link{mainS4S1S4}{formule}{Eq7} et en utilisant
le fait que 
<div class="math">\(
\int_0^t (t-s)^{k-1} g(s) \; ds = \displaystyle\int_0^1 (t-s)_+^{k-1} g(s) \; ds 
\)</div>
et en remarquant que la partie polynomiale dans l'avant-dernire quation ne
contribue pas  l'erreur ( cause que \( p \geq k \)), nous obtenons:
<div class="math">\(
E(f, \;x_0, \; h) = h^{k+1} \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac
{(t-s)_+^{k-1}}{(k-1)!} \; dt - \sum_{i=1}^s b_i
\frac{(c_i-s)_+^{k-1}}{(k-1)!} \right) f^{(k)}(x_0 + s\; h) \; ds. 
\)</div>
Une valuation de l'intgrale intrieure donne le rsultat.
</div>