La proposition suivante permet d'affirmer qu'une isomtrie vectorielle qui admet trois valeurs propres relles (comptes avec leur ordre de multiplicit) est diagonalisable, et plus prcisment une symtrie orthogonale (bien sr).

<div id="thm">
 <b>Proposition : </b> Soit \( \vec f ) une isomtrie 
vectorielle admettant 3 valeurs propres
relles. Alors \( \vec f ) est une symtrie orthogonale.</div>

<i> Dmonstration : </i>    Soit \( \vec D )
une droite propre de \( \vec f ) pour la valeur propre \lambda = \pm 1 . 
Comme le plan \( \vec P= \vec D^\perp ) est
stable par
\( \vec f ), la restriction \( \vec f \vert_{\vec P} ) est une isomtrie 
de \( \vec P ) qui admet deux
valeurs propres relles. Vue la classification des isomtries en 
dimension 2, \( \vec f\vert_{\vec
P} ) est donc l'identit, la symtrie centrale ou une symtrie 
axiale. Dans tous les
cas, \( \vec f\vert_{\vec P} ) est diagonalisable  et donc
\( \vec f ) aussi. Comme les valeurs propres de \( \vec f ) sont \pm 1, 
il en rsulte que \( \vec f ) est une
symtrie.

\embed{symvect}{<b>Liste des symtries orthogonales</b><p>}