<div class="defn"><span class="definition">Dfinition :</span>  
Soit \(f) une fonction de 2 variables \((x , y)) dfinie au voisinage d'un point 
\(M_0 = (x_0 , y_0)). On dit que \(f) est <span class="defn"> diffrentiable</span>  
si \(f) admet une approximation linaire.</div>

 <div class="thm"><span class="thm"> Thorme :</span> Si  \(f) est 
 une \fold{classeC1}{fonction de classe} \(C^1) 
 dans un voisinage de \(M_0), \(f) est diffrentiable et son approximation linaire 
 est donne par 
 <p align="center">\(f(M_0) +  D_1(f)(M_0)(x - x_0) + D_2(f)(M_0)( y - y_0))</p>
</div>

Autrement dit : 

<div class="thm">
<p align="center"> \( f(x , y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) (x - x_0)+ 
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0))\(
+ \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\varepsilon(x , y))</p>
o \(\varepsilon) est une fonction de \((x , y)) dfinie au voisinage de \((x_0 , y_0)) 
telle que <p align="center"> \(\lim_{(x , y)\to (x_0,y_0)} \varepsilon(x , y) = 0).</p>
</div>

<div class="thm">
<p align="center">\( f(x , y)= \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) (x-x_0) 
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0)) 
\(
+ (x-x_0)\varepsilon_1(x , y)+(y-y_0)\varepsilon_1(x , y))</p>
o \(\varepsilon_1) et \(\varepsilon_2) sont des fonctions de \((x , y)) dfinies au 
voisinage de \((x_0,y_0)) telle que <p align="center"> \(\lim_{(x , y)\to (x_0,y_0)} 
\varepsilon_1(x , y)=0), \(\lim_{(x , y)\to (x_0,y_0)} \varepsilon_2(x , y)=0).</p>
</div>

Avec des notations diffrentes que l'on utilisera par la suite, 
<div class="thm"><p align="center">\(f(x , y)=D_1(f)(x_0,y_0) (x-x_0)+ 
D_2(f)(x_0,y_0) (y-y_0))\(
+ \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\varepsilon(x , y))</p>
o \(\varepsilon) est une fonction de \((x , y)) dfinie au voisinage de \((x_0 , y_0) ) telle que 
<p align="center">\(\lim_{(x , y) \to (x_0,y_0)} \varepsilon(x , y)=0).</p>
</div>

<div class="thm"><p align="center">\( f(M) = grad(f)(M_0)\cdot \vec{M_0M} + ||M_0M|| 
\varepsilon(M))</p>
o \(\varepsilon) est une fonction de \(M) dfinie au voisinage de \(M_0) telle que 
<p align="center">\(\lim_{M \to M_0} \varepsilon(M) = 0). </p>
</div>