\def{integer n=randint(2..4)}
\def{text liste=e<sub> 1</sub>}
\def{text listebis=e<sub> 1</sub>*}
\def{text listea=a<sub> 1</sub>}
\def{text vecx= x<sub> 1</sub> e<sub> 1</sub>}
\def{text vec1x= a<sub> 1</sub> e<sub> 1</sub>*}
\def{text alpx= x<sub> 1</sub> \alpha(e<sub> 1</sub>)}
\def{text ax= x<sub> 1</sub> a<sub> 1</sub>}
\def{text listex= x<sub> 1</sub>}
\for{i=2 to \n}{\def{text liste=\liste, e<sub> \i</sub>}
\def{text listebis=\listebis, e<sub> \i</sub>*}
\def{text listea=\listea,a<sub> \i</sub>}
\def{text vecx=\vecx + x<sub> \i</sub> e<sub> \i</sub>}
\def{text vec1x=\vec1x + a<sub> \i</sub> e<sub> \i</sub>*}
\def{text ax=\vecx + x<sub> \i</sub> a<sub> \i</sub>}
\def{text alpx=\alpx + x<sub> \i</sub>\alpha( e<sub> \i</sub>)}
\def{text listex=\listex , x<sub> \i</sub> }
}
\def{text listex=\n=2 ? x,y}
\def{text listex=\n=3 ? x,y,z}
\def{text vecx=\n=2 ? x e<sub> 1</sub>+ye<sub> 2</sub>}
\def{text vecx=\n=3 ? x e<sub> 1</sub>+ye<sub> 2</sub>+ze<sub> 3</sub>}
\def{text alpx=\n=2 ? x \alpha(e<sub> 1</sub>)+y\alpha(e<sub> 2</sub>)}
\def{text alpx=\n=3 ? x\alpha( e<sub> 1</sub>)+y\alpha(e<sub> 2</sub>)+z\alpha(e<sub> 3</sub>)}
\def{text ax=\n=2 ?x a<sub> 1</sub>+ya<sub> 2</sub>}
\def{text ax=\n=3 ?x a<sub> 1</sub>+ya<sub> 2</sub>+za<sub> 3</sub>}


<div class="defn"><span class="definition"> Dfinition : </span>Une <span class="defn">forme linaire </span> 
 \(\alpha) sur l'espace vectoriel  \(\RR^\n) \reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">} est une application linaire de  \(\RR^\n) dans  \(\RR). 
</div>

\def{integer i=randint(1..\n)}
Par exemple, la projection \if{\n=2}{\((x,y)\mapsto x)}\if{\n=3}{\((x,y,z)\mapsto x)}
\if{\n>3}{(\liste)\mapsto x<sub>\i</sub> } est une forme linaire de  \(\RR^\n), notons-la \if{\n<=3}{ 
\(e_1^\ast).
De mme, la projection  \if{\n=2}{\((x,y)\mapsto y)}\if{\n=3}{\((x,y,z)\mapsto y)} 
est une forme linaire, notons-la 
 \(e_2^\ast).
}{\( e_\i^\ast).}


Toute forme linaire est reprsente (dans la base usuelle 
 (\liste ) de  \(\RR^\n)) par une matrice  une ligne et 
\n colonnes  (\listea) et on a 
<center> 
\alpha(\listex)=\alpha(\vecx)= \alpx
<br>
= \ax
= (\vec1x)(\listex)
</center>
c'est--dire
<center> \alpha=\vec1x
</center>
 Ainsi, toute forme linaire sur \(\RR^\n) est combinaison linaire des 
(\listebis). 
<div class="exercice"> <span class="exercice">Exercice : </span>
 Vrifier que si  \(f) est une forme linaire sur  \(\RR^n),
 il existe un vecteur  \(v) tel que  \(f(u)=u\cdot v) pour tout vecteur  \(u) de  \(\RR^n). 
</div>