<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Formes quadratiques} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS5}{V  Application: Coniques du plan affine euclidien} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> V-6  Exemples et exercices</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Formes quadratiques et formes polaires associes}

\link{mainS2}{II  Orthogonalit}

\link{mainS3}{III  Dcomposition en carrs d'une forme quadratique}

\link{mainS4}{IV  Formes quadratiques sur un espace euclidien}

<div class="left_selection">\link{mainS5}{V  Application: Coniques du plan affine euclidien}</div>


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">
<h2 class="ex">Exemple</h2><div class="ex">
Dans l'espace affine euclidien usuel \( \mathbb R^2 \),
on considre la conique \( {\cal C} \) d'quation <div class="math">\( 9x^2 - 10xy+ 4y^2 = 36 \ .\)</div> 

Soit la forme quadratique <div class="math">\( q(x,y) = 9x^2 - 10xy + 4y^2 .\)</div>
On a <div class="math">\( q(x,y)=9\left(x-{5\over 9}y\right)^2+{11\over 9}y^2\)</div> donc 
la signature de \( q \) est \( (2, 0) \) et alors \( {\cal C} \) est une ellipse. 

L'endomorphisme autoajoint \( u \) de \( \mathbb R^2 \) tel que 
<div class="math">\( q(v)=<u(v),v> \quad \forall  v\in\mathbb R^2\)</div>
a pour matrice dans la base canonique 
<div class="math">\(\left(\begin{matrix}   
9&-5\\ -5&4\\ 
\end{matrix} \right).\)</div>
Les valeurs propres de 
\( \varphi \) sont 
 <div class="center">
\( \lambda ={13+5\sqrt{5}\over 2} \)
 et 
\( \mu={13-5\sqrt{5}\over 2} \)
</div>
et
<div class="math">\( u_1=\left ( \begin{matrix} 
2\\
1-\sqrt{5}
\end{matrix} \right )\)</div>
 et 
<div class="math">\( u_2=\left ( \begin{matrix} 2\\
1+\sqrt{5}\end{matrix} \right )\)</div>
sont des vecteurs propres associs  \( \lambda \) respectivement \( \mu \)
Les axes de symtrie de \( \cal C \) 
sont les droites passant par l'origine de vecteurs directeurs respectifs 
\( u_1 \) et \( u_2 \).
</div>



<h2 class="exercice">Exercice</h2><div class="exercice">
\exercise{module=U2/algebra/oefbilin.fr&cmd=new&exo=conique&worksheet=}{Invariants d'une conique}  
</div></div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS5S1}{V-1  Dfinitions}

\link{mainS5S2}{V-2  Forme rduite d'une quation de conique}

\link{mainS5S3}{V-3  Centre de symtrie d'une conique}

\link{mainS5S4}{V-4  Classification des coniques}

\link{mainS5S5}{V-5  Tableaux rcapitulatifs}

<div class="right_selection">\link{mainS5S6}{V-6  Exemples et exercices}</div>
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>