
<h2 class="ex">Exemple</h2><div class="ex">
Soit \( E=\mathbb R^3 \) ,
<p class="math">\(\begin{matrix} 
q(x,y,z)&=&  2x^2-y^2-4xy-8yz

\\
        &=&  2(x^2-2xy)-y^2-8yz

\\
        &=&  2(x-y)^2-9y^2-8yz\\
        &=&  2(x-y)^2-9\left(y^2+{8\over 9}yz\right)\\
        &=&  2(x-y)^2-9\left(y+{4\over 9}z\right)^2+{16\over 9}z^2\\
 \end{matrix} \)</p>
Posons
\( \left\{\matrix{\ell_1(x,y,z)=x-y\hfill\cr \ell_2(x,y,z)=y+{4\over 9}z \hfill\cr \ell_3(x,y,z)=z\hfill\cr}\right .
 




\quad\mbox{et}\quad
\left\{\matrix{x'= x-y\hfill\cr y'= y+{4\over 9}z\hfill\cr z'= z\hfill\cr}\right .. \)
 





\( (\ell_1,\ell_2,\ell_3) \) est une base de l'espace dual \( E^{\ast} \) de \( E \).

On a  \(  q(x', y', z') = 2x'^2 - 9y'^2 + {16\over 9}z'^2 \) 
donc si \( P\in M_3(\mathbb R) \) tel que 
<div class="math">\(\left(\begin{matrix} 
x'\\ y'\\ z'\\
\end{matrix} \right)=P^{-1}
\left(\begin{matrix} 
x\\ y\\ z\\
\end{matrix} \right)\)</div>
alors les vecteurs de composantes les colonnes de \( P \) forment une base orthogonale par rapport  \( q \). Une base orthogonale par rapport  \( q \) est donc \( (v_1, v_2, v_3) \) o 
\( v_1 =(1,0,0)  \),
\( v_2 = (1,1,0) \) et 
\( v_3 = (-4/9,-4/9,1) \)
</div>


<h2 class="ex">Exemple</h2><div class="ex">
Soit \( E=\mathbb R^3 \) ,
<p class="math">\(\begin{matrix} 
q(x,y,z)&=&  x^2+xy+xz

\\
        &=&  \left(x+{1\over 2}y+{1\over 2}z\right)^2-\left({1\over 2}y+{1\over 2}z\right)^2

\\
        
\end{matrix} \)</p>
Soit 
\( \ell_1(x,y,z)=x+{1\over 2}y+{1\over 2}z \)\\
\indent \( \ell_2(x,y,z)={1\over 2}y+{1\over 2}z \)\\
On choisit la forme linaire \( \ell_3 \) telle que 
la famille \( (\ell_1,\ell_2,\ell_3) \) soit une base de l'espace dual \( E^{\ast} \) de \( E \). Soit 
<div class="math">\(\ell_3(x,y,z)=z. \)</div>

Posons 
<div class="math">\(\left\{\matrix{x'= x+{1\over 2}y+{1\over 2}z \hfill\cr 
y'= {1\over 2}y+{1\over 2}z \hfill\cr 
z'= z}\right .\)</div>
On a  \(  q(x', y', z') = x'^2 - y'^2 \) 
donc si \( P\in M_3(\mathbb R) \) tel que 
<div class="math">\(\left(\begin{matrix} 
x'\\ y'\\ z'\\
\end{matrix} \right)=P^{-1}
\left(\begin{matrix} 
x\\ y\\ z\\
\end{matrix} \right)\ ,\)</div>
les vecteurs de composantes les colonnes de \( P \) forment une base orthogonale par rapport  \( q \). 
Une base orthogonale par rapport  \( q \) est donc \( (v_1, v_2, v_3) \) o 
\( v_1 =\left(1,0,0\right)  \),
\( v_2 = \left(-1,2,0\right) \) et 
\( v_3 = \left(0,-1,1\right) \)
</div>

