<div class="enum_item">Cas o tous les  \( a_{i,i} \) sont nuls, la forme quadratique s'crit alors sous la forme   \(  q(x)=2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_{i,j}x_ix_j, \quad \forall  x\in E \).
Sans perte de gnralit, supposons que  \( a_{1,2}\not=0 \).

<b><font color="red">L'ide est de regrouper tous les termes contenant \( x_{1} \) et \( x_{2} \).</font></b>  
<div class="math">\(q(x)=2a_{1,2}x_1x_2+2\sum^n_{j=3}a_{1,j}x_1x_j\)</div>
<div class="math">\( +2\sum^n_{j=3}a_{2,j}x_2x_j+2\sum_{3\leq i<j\leq n}a_{i,j}x_ix_j.\)</div>


Posons,  
<p class="math">\(\begin{matrix} 
\varphi(x)&=&\sum^n_{j=3}a_{1,j}x_j, 

\\
 \psi(x)&=&\sum^n_{j=3}a_{2,j}x_j 

\\ 
 \theta(x)&=&2\sum_{3\leq i<j\leq n}a_{i,j}x_ix_j
\end{matrix} \)</p>
Remarquons que \( \theta \) est un polynme homogne de degr \( 2 \) en \( x_3,\cdots , x_n \).

Une fois que c'est fait, on regroupe ces formes de la faon suivante:
<p class="math">\(\begin{matrix} 
q(x)&=&2a_{1,2}x_1x_2+2x_1\varphi(x)+2x_2\psi(x)+\theta(x)

\\
&=& {2\over a_{1,2}}\left[a^2_{1,2}x_1x_2+a_{1,2}x_1\varphi(x)+a_{1,2}x_2\psi(x)\right]+\theta(x)

\\
&=&{2\over a_{1,2}}(a_{1,2}x_1+\psi(x))(a_{1,2}x_2+\varphi(x))-{2\over a_{1,2}}\varphi(x)\psi(x)+\theta(x) 
\end{matrix} \)</p>
\(  q_1:(x_3,\cdots, x_n)\mapsto\theta(x)-{2\over a_{1,2}}\varphi(x)\psi(x) \) est une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension \( n-2 \). \fold{}{(Pourquoi?)}{En effet,
 le produit de deux formes linaires est une forme quadratique.}  




En utilisant la relation \( ab={1\over 4}\left[(a+b)^2-(a-b)^2\right] \), on obtient 

<p class="math">\(\begin{matrix} 
 q(x)&=&{1\over 2a_{1,2}}\left[(a_{1,2}x_1+a_{1,2}x_2+\psi(x)+\varphi(x))^2-(a_{1,2}x_1-a_{1,2}x_2+\psi(x)-\varphi(x))^2\right]

\\
&+&q_1(x_3,\cdots , x_n).
\end{matrix} \)</p>

Posons, 
\( a_1={1\over 2a_{1,2}}, \)
\( a_2={1\over 2a_{1,2}}, \)
<div class="math">\(\ell_1:(x_1,\cdots,x_n)\mapsto a_{1,2}x_1+a_{1,2}x_2+\psi(x)+\varphi(x)\)</div>
et
<div class="math">\(\ell_2:(x_1,\cdots,x_n)\mapsto a_{1,2}x_1-a_{1,2}x_2+\psi(x)-\varphi(x).\)</div>

Les formes \( \ell_1 \) et \( \ell_2 \) sont deux formes linaires indpendantes de \( \mathbb R^n \) et \( q_1 \) est une forme quadratique
 qui on applique l'hypothse de rcurrence.
</div>

