<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Formes quadratiques} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS3}{III  Dcomposition en carrs d'une forme quadratique} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> III-1  Mthode de Gauss</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Formes quadratiques et formes polaires associes}

\link{mainS2}{II  Orthogonalit}

<div class="left_selection">\link{mainS3}{III  Dcomposition en carrs d'une forme quadratique}</div>

\link{mainS4}{IV  Formes quadratiques sur un espace euclidien}

\link{mainS5}{V  Application: Coniques du plan affine euclidien}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">
Le but de cette mthode est d'crire une forme quadratique comme une somme de carrs.
<h2 class="thm">Thorme</h2><div class="thm">
Soit \( q \) une forme quadratique non nulle de \( E \) alors il existe \( \ell_1,\cdots,\ell_p \) des formes linaires indpendants de \( E \) et \( \alpha_1,\cdots,\alpha_p \) des rels non nuls tels que <div class="math">\( q=\sum^p_{i=1}\alpha_i\ell_i^2\)</div>
en outre, on a
<div class="math">\( {\rm rg\, } q = p\)</div> et <div class="math">\( {\rm ker\, } q = \{x\in\mathbb R^n /\ \ell_1(x)=\ell_2(x)=\cdots =\ell_p(x)=0\}\)</div>
</div>



\fold{mainS3S1F_proof1}{<span class="dem">Dmonstration</span>

}


<h2 class="defn">Remarque</h2><div class="defn">
La dmonstration du thorme prcdent est la mthode pratique de rduction de Gauss.
</div>


<h2 class="corollaire">Corollaire</h2><div class="corollaire">
Sous les hypothses du thorme prcdent, la signature de \( q \) est \( (r, s) \) o
<div class="math">\(r=\mathrm{Card}\{a_i>0, i=1,\cdots ,p\}\)</div>
et
<div class="math">\(\quad s=\mathrm{Card}\{a_i<0, i=1,\cdots ,p\}.\)</div>

</div>




\fold{mainS3S1F_remU1}{<span class="exemple">Remarque utile</span>

}

</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
<div class="right_selection">\link{mainS3S1}{III-1  Mthode de Gauss}</div>

\link{mainS3S2}{III-2  Exemples}

\link{mainS3S3}{III-3  Dcomposition dans une base de vecteurs propres}

\link{mainS3S4}{III-4  Formes quadratiques quivalentes}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>