<div class="dem">   
 Soient \( q \) une forme quadratique sur \( E \) de forme polaire \( b \), d'aprs ce qui prcde, il existe une base orthogonale \( {\cal B} \) de \( E \) et la matrice \( D \) de \( q \) dans cette base est diagonale \( D= {\rm diag\, } (d_1, \cdots, d_n) \). Soit \( x \) un vecteur de \( E \) de composantes \( \left(x_1, \cdots, x_n\right) \) dans la base \( {\cal B} \). L'expression analytique de \( q \) s'crit alors
 <div class="math">\(q(x) = d_1x_1^2 + \cdots +d_nx_n^2 .\)</div>
 En notant 
 <p class="math">\(\begin{matrix} 
\ell_i:E&\rightarrow&\mathbb R\\
x&\mapsto& x_i\\
\end{matrix} \)</p>
les \( \ell_i \) sont des formes linaires, de plus 
la famille \( (\ell_1, \cdots, \ell_n) \) est libre car c'est la base duale de \( {\cal B} \). 
 </div> <div class="fin"> Fin de la dmonstration</div>