
<h2 class="defn">Dfinition</h2><div class="defn">
 On appelle <b><font color="red">forme quadratique</font></b>  <a name="forme!quadratique"> de \( E \) toute application 
\( q:E\rightarrow\mathbb R \) telle que
<ol><li>  \( \quad\forall\lambda\in\mathbb R, \quad \forall x\in E,\quad
  q(\lambda x) = \lambda^2q(x) \).
 </li><li>  l'application 
<p class="math">\(\begin{matrix} 
b:E\times E&\rightarrow&\mathbb R\\
(x,y)&\mapsto& {1\over 2}[q(x+y)-q(x)-q(y)]\\
\end{matrix} \)</p>
est une forme bilinaire symtrique.
 </li></ol>
La forme bilinaire \( b \) est appele <b><font color="red">la forme polaire</font></b>  <a name="forme!polaire"> de \( q \).
</div>



<h2 class="defn">Remarque</h2><div class="defn"> 
Si \( q \) est une forme quadratique de forme polaire \( b \), alors
<div class="math">\(\forall\quad x\in E, \quad  q(x)=b(x,x).\)</div>
</div>


<h2 class="ex">Exemple</h2><div class="ex">
<ul><li>  Soit \( E=\mathbb R^{n} \) muni de son produit scalaire usuel not \( < , > \). L'application
<p class="math">\(\begin{matrix} 
q:E&\rightarrow&\mathbb R\\
x&\mapsto& <x,x>\\
\end{matrix} \)</p>
est une forme quadratique sur \( E \).
 </li><li>  Soit \( E=\mathbb R^4 \), l'application
<p class="math">\(\begin{matrix} 
q:E&\rightarrow&\mathbb R\\
x&\mapsto& x^2+y^2+z^2-t^2\\
\end{matrix} \)</p>
est une forme quadratique bien connue en mcanique quantique.

 </li></ul>
</div>



\fold{mainS1S1F_S1F_exF1}{<span class="exemple">Exemple</span>

}





\fold{mainS1S1F_S1F_exF2}{<span class="exemple">Exemple</span>

}

