Considrons un espace vectoriel \( E ) de dimension \(n) muni d'un produit scalaire. Choisissons  \({\mathcal B}_0)
une base orthonorme. 

<div class="exemple">\fold{}{Exemple}{Soit \( \RR^n ) muni du produit scalaire \(  v \cdot v' = \sum_{i=1}\n x_i x_i' )
o \( v = (x_i)  ), \( v' = (x_1',...,x_n') ).
Dans ce cas, la base canonique \( (e_1,...,e_n) ) est orthonorme, 
c'est--dire vrifie \(  e_i \cdot e_j = 1 ) si \( i=j ) et 0 sinon. }
</div>

<div class="thm"><span class="thm">Thorme</span> : Le dterminant de la matrice de passage 
d'une base orthonorme  une autre base orthonorme
est gale  \pm 1 .
</div>

<div class="dem"><span class="dem">Dmonstration</span> : la matrice de passage \(P) 
vrifie \( P P^t = Id ). Donc on a \( \det(P)^2=1 ). 
</div>

Une fois choisie une base orthonorme \( {\mathcal B}_0 ), 
le dterminant spare les bases orthonormes en deux sous-ensembles : 
<ul><li>celles telles
que le
 dterminant  de la matrice de passage de \( \mathcal B_0 )  est gal  1 (on les 
 appelle <span class="definition">base orthonorme directe</span>)
 </li>
 <li>celles dont le dterminant de la matrice de passage de \( \mathcal B_0 )
 est gale  -1 (on les 
 appelle <span class="definition">base orthonorme indirecte</span>). 
 </li>
 </ul>
 
<div class="defn"><span class="defn">Dfinition</span> : Soit \( E ) un espace vectoriel 
de dimension \(n) muni d'un produit scalaire (euclidien) et d'une base orthonorme \(\mathcal B_0 ) de rfrence. 
On appelle <span class="definition">produit mixte</span> de \( n ) vecteurs \( v_1,..., v_n ) (on note aussi
\( (v_1,..., v_n) )) le dterminant de \( v_1,..., v_n ) dans la base \( \mathcal B_0 )
ou ce qui revient au mme dans toute base orthonorme directe. 
</div>