Donnons  d'abord un lemme : 
 
 <div class="thm"> <span class="thm"> Lemme :
 </span>Soient  \(g) une fonction continue sur  [a,b] et  \(\varphi)
une fonction drivable sur un intervalle  \(I)  valeurs dans  [a,b]. La fonction  \(G) dfinie sur  \(I)  par :
<center>\( G(x)=\int_{a}^{\varphi(x)} g(u)\; du )</center>
est drivable sur \(I) et sa drive est :
<center>\( G'=(g\circ\varphi)\varphi' )</center>
</div>

\fold{demlemme}
{<span class="dem">Dmonstration du lemme </span>}

<div class="exercice"> <span class="exercice"> Exercice :</span>
<ul><li>
\exercise{lang=fr&cmd=new&module=U1/analysis/oefderint.fr&exo=derint}{Drivation d'une intgrale fonction des bornes}</div>


Donnons maintenant la dmonstration du \fold{theoreme}{thorme.}

<div class="dem"> Pour  tout  \(x) de  [a,b], posons :
<center>\( F(x)=\int_{a}^{x} (f \circ \varphi)(t)\;\varphi'(t)\;dt \quad \text{et} \quad G(x)=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(x)} f(u)\; du )</center>
 Comme  \(f) est continue et  \(\varphi)  de classe  \(C^1), les fonctions  \(F) et  \(G) sont bien dfinies et de classe  \(C^1).

D'aprs le lemme,  \(F) et  \(G) ont mmes drives, donc leur diffrence est constante sur l'intervalle  [a,b] ; or
 \(F) et  \(G) sont toutes les deux nulles en  \(a). Les fonctions  \(F) et  \(G) concident sur  [a,b] et en particulier en  \(b). 
</div>