<!-- 1 -->
:<p><b>
Logique de Boole (ou boolenne) :</b> Systme logique formel dont les formules 
sont construites  l'aide des connecteurs boolens et dont les valeurs de vrit sont binaires : Vrai  ou Faux. <br/>
Un systme logique formel est caractris par :  les formules qu'il autorise, les rgles qu'il autorise pour calculer les valeurs de vrit des formules, enfin les rgles de dduction qu'il autorise pour dmontrer qu'une formule est consquence logique de certaines autres.
</p>

<!-- 2 -->
:<p> <b>
Proposition,  assertion,  formule :</b> 
<ul><li>En logique boolenne, ces termes dsignent une "expression formelle", ou "formule",   crite avec des propositions lmentaires (dsignes  en gnral par des lettres) et des connecteurs boolens. </li>
<li>En langage naturel, ces termes dsignent tout nonc ou affirmation  dont on se propose d'valuer la vrit.</li>
</ul>
<p><b>
Connecteurs boolens :</b>
 ngation \(\overline{A} ), disjonction \(A \; ou \; B ), 
conjonction \(A \; et \; B ), implication \(A  \rightarrow  B ),
 quivalence \(A  \leftrightarrow  B ).
</p>

<!-- 3 -->
:<p><b>
Priorits entre connecteurs :</b> 
<ul><li>la ngation est prioritaire devant tout autre connecteur ; </li>
<li>la conjonction et la disjonction 
sont prioritaires devant l'implication et l'quivalence.</li>
</ul>
</p>

<!-- 4 -->
:<p><b>
Interprtation ou  modle  d'un ensemble de formules :</b>
C'est l'attribution d'une valeur de vrit  chacune des propositions
lmentaires {A, B, C, ...}  partir desquelles les formules sont composes. En Logique de Boole ces valeurs sont Vrai ou Faux.
</p>

<!-- 5 -->
:<p><b>
Valeur de vrit d'une formule :</b>
Dans une interprtation donne, une formule prend une valeur de vrit qui est calcule selon des rgles dfinies par des "tables de vrit". 
</p>
<p><b>
Tables de vrit de la Logique de Boole :</b>
On les donne par un tableau  double entre o les valeurs de vrit de \(A) figurent en premire colonne et celles de \(B) en premire ligne.
<table width="80%" align="center">
<tr align="center">
<td>Ngation </td><td>Conjonction </td><td>Disjonction </td>
<td>Implication </td><td>Equivalence </td></tr>
<tr align="center"><td>\(\overline{A} )</td><td>\(A et B)</td><td> \(A ou B)</td>
<td> \(A \rightarrow B)</td><td> \(A \leftrightarrow B)</td></tr>
<tr>
<td>
<table border="solid" cellpadding="10" >
<tr>
<td>\(A)</td><td>V</td><td>F</td></tr>
<tr>
<td>\(\overline{A} )</td><td> F </td><td> V</td></tr>
</table></td>

<td><table border="solid" cellpadding="5" >
<tr>
<td>A \ B</td><td>V</td><td>F</td></tr>
<tr>
<td align="center">V</td><td> V </td><td> F</td></tr>
<tr>
<td align="center">F</td><td> F </td><td> F</td></tr>
</table></td>
<td>
<table border="solid" cellpadding="5" >
<tr>
<td>A \ B</td><td>V</td><td>F</td></tr>
<tr>
<td align="center">V</td><td> V </td><td> V</td></tr>
<tr>
<td align="center">F</td><td> V </td><td> F</td></tr>
</table>
</td>
<td>
<table border="solid" cellpadding="5" >
<tr>
<td>A \ B</td><td>V</td><td>F</td></tr>
<tr>
<td align="center">V</td><td> V </td><td> F</td></tr>
<tr>
<td align="center">F</td><td> V </td><td> V</td></tr>
</table></td>

<td>
<table border="solid" cellpadding="5" >
<tr>
<td>A \ B</td><td>V</td><td>F</td></tr>
<tr>
<td align="center">V</td><td> V </td><td> F</td></tr>
<tr>
<td align="center">F</td><td> F </td><td> V</td></tr>
</table></td>
</tr>
</table>
</p>


<!-- 6 -->
:<p><b>
Tautologie :</b> formule logique qui est toujours vraie quelle que soit l'interprtation de ses propositions lmentaires. <br/>
Une antilogie est une formule qui est toujours fausse, dans toute interprtation.
</p>

<!-- 7 -->
:<p><b>
Formules compatibles :</b> un ensemble de formules est compatible si et seulement s'il existe une interprtation dans laquelle toutes les formules de l'ensemble sont vraies. 
<br/> Un ensemble de formules est incompatible si et seulement si, il n'existe aucune interprtation dans laquelle toutes ses formules puissent tre vraies simultanment.
</p>

<!-- 8 -->
:<p><b>Consquence logique, thorme </b>:</br>Une  proposition \(P) se dduit de  \(S) si et seulement si elle est vraie dans  toute interprtation de \(S). On dit alors que \(P) est une <i>consquence logique</i> ou un  <i>thorme</i> de \(S).
Les formules de  \(S) sont appeles axiomes, ou prmisses ou hypothses. 
</p>

<!-- 9 -->
:<p><b>Raisonnement,   Dduction logique </b>:</br>
Dans un raisonnement on distingue les <b>premisses</b> ou <b>hypothses</b> (<i>H<sub>1</sub></i>, <i>H<sub>2</sub></i>, etc.) et
la <b>conclusion</b> \(C). <br/>Un raisonnement est <b>valide</b>  si et seulement si la conclusion \(C) est <b>consquence logique</b> des hypothses. Cela signifie que la  conclusion doit tre vraie 
si l'on suppose toutes les hypothses  vraies. <br/>La notion de vrit est celle de la Logique Boolenne.</p>

<!-- 10 -->
:<p><b>Rgles de dduction</b> : <br/>
Les tapes d'un raisonnement  suivent des rgles. Les rgles  les plus courantes sont les suivantes : </p>
<center>
<table border="solid" cellpadding="10">
<tr><td>Rgle</td><td>Hypothse(s)</td><td>Conclusion</td></tr>
<tr><td>Modus Ponens </td><td>si \(A) alors \(B)<br/>\(A)</td><td>\(B)</td></tr>
<tr><td>Contrapose </td><td>si \(A) alors \(B)</td><td>si non \(B) alors non \(A)</td></tr>
<tr><td>Raisonnement par cas </td><td>si \(A) alors \(C)<br/>si \(B) alors \(C)</td><td>si \(A) ou \(B) alors \(C)</td></tr>
<tr><td>Introduction du "et"</td><td>\(A) <br/> \(B)</td><td>\(A et B)</td></tr>
<tr><td>Introduction du "ou"</td><td>\(A)</td><td>\(A ou B)</td></tr>
<tr><td>Affaiblissement</td><td>\(A et B)</td><td>\(A)</td></tr>
</table></center>

<!-- 11 -->
:<p><b>Les rgles de formation des ngations </b> :
<center><table border="solid" cellpadding="10">
<tr><td>\(P)</td><td>\(\bar{P}) (\(\; non P))</td></tr>
<tr><td>\(A et  B) </td><td>\(\bar{A} \; ou\; \bar{B})</td></tr>
<tr><td>\(A ou B) </td><td>\(\bar{A}  \;et  \;\bar{B})</td></tr>
<tr><td> \(\bar{A}) </td><td>\(A)</td></tr>
<tr><td>pour tout \(x),  \(A) </td><td>il existe \(x) tel que \(\bar{A})</td></tr>
<tr><td>il existe \(x) tel que \(A) </td><td> pour tout \(x), \(\bar{A})</td></tr>
<tr><td></td><td></td></tr>
</table>
</center>
</p>

<!-- 12 -->
:<p><b>L'implication \(A\rightarrow B) (si \(A) alors \(B)) </b> :
<ul>
<li> L'implication \(A\rightarrow B) est vraie si et seulement si \(A) est faux ou \(B) est vrai.</li>
<li>Les propositions \(A\rightarrow B) et \(\bar{A} \; ou \; B) sont logiquement quivalentes.<br/>
<small>(c'est  dire qu'elles ont les mmes tables de vrit.)</small></li>
<li> Les propositions   \(A\rightarrow B) et \(\bar{B}\rightarrow \bar{A}) sont logiquement quivalentes.</li>
<li> D'o les rgles de dduction :<br/>
 Modus Ponens :  des deux hypothses \(A\rightarrow B) et \(A), on peut dduire \(B)<br/>
 Contraposition : des deux hypothses \(A\rightarrow B) et \(\bar{B}), on peut dduire \(\bar{A})<br/>
  Mais des hypothses \(A\rightarrow B) et \(\bar{A}) on ne peut rien dduire.
</li></ul>