<h2>I Pourcentages directs (de proportion ou de rpartition)</h2>
<p>Calculer le pourcentage d'une quantit par rapport  une autre, c'est trouver la valeur
de cette quantit pour obtenir la mme proportion en supposant que la rfrence soit gale  100.
</p>
En fait, il s'agit simplement de calculer la proportion d'une quantit par rapport  une autre.
<div>\fold{\embed{P100Ex1}}{<h3 class="l2w_content thm">Exemple</h3>}</div>
<p>Il faut bien noter qu'<b>un pourcentage exprime une proportion et n'a de sens que si
on prcise quelle est la rfrence qui correspond aux 100 %</b>.</p>
<p>
Remarquer aussi que les calculs tombent rarement "justes" et qu'il faudra souvent arrondir le rsultat, la prcision
peut varier selon le contexte ( 1 % prs, ou 0,1 % prs...).
Dans les calculs ultrieurs, il faut reprendre le quotient exact pour
viter de cumuler les erreurs d'arrondi.</p>
<u>Cas gnral</u>:
On peut considrer le tableau suivant, ce qui revient  l'galit
\(\frac{y}{x} = \frac{p}{100}= t):
<table class="wimscenter wimsborder">
<caption>Tableau de proportionnalit</caption>
<tr><th>Effectif</th><th>Pourcentage</th></tr>
<tr><th>Partie</th><td>\(y)</td><td>\(p)</td></tr>
<tr><th>Total</th><td>\(x)</td><td>100</td></tr>
</table>
Schmatiquement :
<div class="wims_columns">
<div class="medium_size">
\(\Large{x\underset{\phantom{xxx}\times t\phantom{xxx}}{\overset{p\%}{\mapsto}}y }\)
avec \(t=\frac{p}{100}) et \(\frac{y}{x} = \frac{p}{100})
</div><div class="medium_size">
<ul><li>Calcul de la partie  partir du tout : \(y=\frac{p}{100}x)</li>
<li>Calcul du tout  partir de la partie : \(x = \frac{y}{t})</li>
<li>Calcul du pourcentage : \(p=\frac{y}{x} \times 100)</li>
</ul></div></div>

<h2>II Pourcentages d'augmentation</h2>
\fold{\embed{P100Ex2}}{<h3 class="l2w_content thm">Exemple</h3>}
<p>
<b>Augmenter une quantit de \(p) %, c'est la multiplier par \((\frac{100+p}{100})) autrement dit
par \((1 +\frac{p}{100})).</b>
</p>
On peut considrer le tableau suivant, ce qui revient  l'galit \(\frac{y}{x} = \frac{100 + p}{100}= 1 + t) :
<table class="wimscenter wimsborder">
<tr><td></td><th>Effectif</th><td>Pourcentage</th></tr>
<tr><th>Valeur finale</th><td>\(y)</td><td>\(100 + p)</td></tr>
<tr><th>Valeur initiale</th><td>\(x)</td><td>100</td></tr>
</table>
Schmatiquement :
<div class="wims_columns">
<div class="medium_size">
\(\Large{x\underset{\phantom{xxx}\times (1+t)\phantom{xxx}}
{\overset{+ p\%}{\mapsto}}y }\)
avec \(t=\frac{p}{100}), \(x) = valeur initiale, \(y) = valeur finale
</div><div class="medium_size">
<ul><li>Calcul de la valeur finale : \(y=(1+\frac{p}{100}) x)</li>
<li>Calcul de la valeur initiale : \(x = \frac{y}{1 + t})</li>
<li>Calcul du pourcentage : \(p=\frac{y - x}{x} \times 100)</li>
</ul></div></div>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemple</h3><div class="l2w_content exemple">
Un DVD cote 20 &euro; Toute Taxe Comprise, la TVA est de 15 % sur le prix Hors Taxe. Quel est le prix H.T. de ce DVD ?<br>
On cherche l'antcdent  l'aide du schma :
<div class="wimscenter">
\(\Large{x\underset{\phantom{xxx}
\times (1+0,15)\phantom{xxx}}{\overset{+ 15\%}{\mapsto}} 20}\)
</div>
Le prix H.T. de ce DVD est \(\frac{20}{1,15} \approx 17,39) &euro; et non pas \(20 - \frac{15}{100} 20) car les 15 % portent sur \(x) et non pas sur 20.<br>
Rechercher la valeur initiale avant une hausse de 15 % ne revient pas  appliquer une diminution de 15 % sur la valeur finale.<br>
</div>
<h2>III. Pourcentages de diminution</h2>
<b>Diminuer une quantit de \(p) %, c'est la multiplier
par \((\frac{100-p}{100})) autrement dit par \((1 - \frac{p}{100})).</b>

On peut considrer le tableau suivant, ce qui revient  l'galit : \(\frac{y}{x} = \frac{100 - p}{100}= 1 - \frac{p}{100}).
<table class="wimscenter wimsborder">
<tr><td></td><th>Effectif</th><th>Pourcentage</th></tr>
<tr><th>Valeur finale</th><td>\(y)</td><td>\(100 - p)</td></tr>
<tr><th>Valeur initiale</th><td>\(x)</td><td>100</td></tr>
</table>
Schmatiquement :
<div class="wims_columns">
<div class="medium_size">
\(\Large{x\underset{\phantom{xxx}
\times (1-p/100)\phantom{xxx}}{\overset{-p\%}{\mapsto}}y }\)
avec \(t=-\frac{p}{100}), \(t\) ngatif,
\(x) = valeur initiale et \(y) = valeur finale
</div><div class="medium_size">
<ul><li>Calcul de la valeur finale : \(y=(1 - \frac{p}{100}) x)</li>
<li>Calcul de la valeur initiale : \(x = \frac{y}{1 - p/100})</li>
<li>Calcul du taux \(t = \frac{- p}{100} =\frac{y - x}{x} = \frac{y}{x} - 1)</li>
<li>Calcul du pourcentage : \(p = - \frac{y - x}{x} \times 100)</li>
</ul></div></div>

<p>Remarque : Le taux d'volution \(t) est toujours gal 
\(\frac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}).
S'il est positif, il s'agit d'une augmentation ; s'il est ngatif, il s'agit d'une diminution.</p>

<h3 class="l2w_content exemple">Exemple</h3><div class="l2w_content exemple">
Un DVD cote 18 &euro; aprs une remise de 25 % sur le prix initial. Quel tait le prix de ce DVD avant la remise ?<br>
Il ne faut pas ajouter 25 % au prix final puisque les 25 % doivent s'appliquer sur le prix initial.<br>
On peut utiliser une quation : \(x - \frac{25}{100} x = 18),
c'est--dire \(0,75 x = 18),
ou plus directement, rechercher l'antcdent  l'aide du schma :
<div class="wimscenter">
\(\Large{x\underset{\phantom{xxx}
\times (1-0,25)\phantom{xxx}}{\overset{-25 \%}{\mapsto}} 18 }\)
</div>
Le prix initial de ce DVD est \(\frac{18}{0,75}= 24) &euro;.<br>
On n'obtient pas le bon rsultat si on augmente le prix final de 25 %, cela donnerait \(18 + \frac{25}{100} 18 = 22,5).
</div>
<h2>IV Conclusion</h2>
Les types de pourcentages envisags ici sont :
<ul>
<li><b>les pourcentages proportions</b> (incluant les pourcentages de rpartition),</li>
<li><b>les pourcentages d'augmentation</b> (qui font partie des pourcentages d'volution),</li>
<li><b>les pourcentages de diminution</b> (qui font partie des pourcentages d'volution).</li>
</ul>
Les types de questions envisages ici sont :
<ul>
<li><b>trouver la valeur de la quantit observe</b> (la valeur de la partie ou la valeur finale),</li>
<li><b>trouver le pourcentage \(p)</b> (ou le taux \(t) = \(p) % = \(p)/100 ou le coefficient multiplicateur),</li>
<li><b>trouver la rfrence des 100 %</b> (la totalit ou la valeur initiale).</li>
</ul>
Les types de mthodes proposes ici sont :
<ul>
<li><b>dessiner, schmatiser</b> pour reprsenter la situation, <b>traduire gomtriquement</b> le problme.</li>
<li><b>faire un tableau de proportionnalit, crire des proportions gales, rsoudre une quation</b>,</li>
<li><b>utiliser un oprateur</b> ou <b>une fonction linaire</b>.</li>
</ul>
<h3 class="l2w_content warning">Attention</h3><div class="l2w_content warning">
<b>On ne peut additionner des pourcentages que s'ils ont la mme rfrence.</b>
<p style="color:red">
Chercher la valeur initiale avant une augmentation de \(p) % ne consiste pas  diminuer la valeur finale de \(p) %.<br>
Et chercher la valeur initiale avant une diminution de \(p) % ne consiste pas  augmenter la valeur finale de \(p) %.<br>
Une augmentation de 10 % suivie d'une diminution de 10 % sur la nouvelle valeur ne redonne pas la valeur initiale.
</p><p>
Il faut donc bien reprer si la situation correspond  une augmentation ou une diminution.
</p><p>
Il faut aussi distinguer ces pourcentages du calcul direct de la valeur de l'augmentation ou de celle du rabais,
qui sont des pourcentages proportions.</p>
<p>Le pourcentage de rpartition donne les proportions de chacun
des constituants d'un tout, ainsi il ne peut dpasser 100 %.
</p><p>
Enfin, une diminution de plus de 100 % est difficile  interprter (si cela a un sens).
</p><p>
Il faut noter aussi qu'aucun pourcentage d'volution ne peut se calculer  partir d'une valeur nulle.
</p>
