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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=complex_number,exponential
!set gl_title=Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul
!set gl_level=H6 Gnrale&nbsp;Experte, H6 STI2D&nbsp;Spcialit
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<div class="wims_defn">
  <h4>Dfinition 1</h4>
  Soit \(\displaystyle{\theta}\) un nombre rel. On pose&nbsp;:
<div class="wimscenter">
\(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=cos \theta +\mathrm{i}\, sin \theta\).
</div>
</div>

<div class="wims_thm"><h4>Thorme 1</h4>
Soit \(\theta_1\) et \(\theta_2\) deux nombres rels. Alors&nbsp;:
<div class="wimscenter">
\(\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta_1+\theta_2)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta_1}
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta_2}\).
</div>
</div>

<div class="wims_defn"> <h4>Dfinition 2</h4>
Soit \(r\) un nombre rel strictement positif et \(\displaystyle{\theta}\) un
 nombre rel.
<br>
Soit \(z\) le nombre complexe de module \(r\) et d'argument \(\displaystyle{\theta}\).
<br>
Une <strong>forme exponentielle</strong> de \(z\) est
\(r\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\).
</div>

<div class="wims_thm"> <h4>Thorme 2</h4>
Un complexe non nul \(z\) possde une infinit de formes exponentielles.<br>
Si \(r\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\) et \(r^'\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta^'}\)
 sont deux formes exponentielles de <span style="white-space:nowrap">\(z\),</span>
  alors \(r=r^'\) et il existe un entier relatif \(k\) tel que
   <span style="white-space:nowrap">\(\theta^'=\theta +2k\pi\).</span>
</div>

 <div class="wims_thm"> <h4>Thorme 3</h4>
  Soit \(z\), \(z_1\) et \(z_2\)  trois nombres complexes non nuls de formes
   exponentielles respectives
    <span style="white-space:nowrap">\(r\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\),</span>
     \(r_1\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta_1}\) et
      <span style="white-space:nowrap">\(r_2\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta_2}\).</span>
       Alors&nbsp;:
 <ul>
  <li>
  \(\frac{1}{z}=\frac{1}{r} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}\)
  </li>
  <li>
  \(z_1 z_2 = r_1 r_2\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta_1+\theta_2)}\)
  </li>
  <li>
  \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta_1-\theta_2)}\)
  </li>
  <li>
  pour tout entier relatif \(n\), \(z^n=r^n\mathrm{e}^{\mathrm{i} n \theta}\)
  </li>
  <li>
  \(\bar z = r\mathrm{e}^{\mathrm{i} -\theta}\)
  </li>
  <li>
  \(-z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta+\pi)}\)
  </li>
</ul>
</div>
