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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=complex_number,vectors,complex_plane
!set gl_title=Argument d'un nombre complexe non nul
!set gl_level=H5 STI2D&nbsp;Spcialit, H6 Gnrale&nbsp;Experte
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<div class="wims_thm">
<h4>Thorme 1</h4>
Un nombre complexe \(z\) est de module 1 si et seulement s'il existe un rel
 \(\displaystyle{\theta}\) tel que
  <span style="white-space:nowrap">\(z=\cos(\theta) + \mathrm{i}\, sin(\theta)\).</span>
</div>
<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition 1</h4>
On appelle <strong>argument</strong> d'un nombre complexe \(z\) de module 1 tout
 nombre rel \(\displaystyle{\theta}\) tel que
  <span style="white-space:nowrap">\(z=\cos(\theta) + \mathrm{i}\, sin(\theta)\).</span>
<br>
Il arrive qu'on note, par abus de langage, \(\theta=\arg(z)\).
</div>
<div class="wims_thm">
<div>
<h4>Thorme 2</h4>
Le plan est muni d'un repre orthonor direct
\((\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\).
 Soit \(z\) un nombre complexe de module 1 et \(\mathrm{M}\) le point d'affixe
  <span style="white-space:nowrap">\(z\).</span>
</div>
<ul>
	<li>
	L'ensemble des arguments de \(z\) est l'ensemble des mesures en radians
	de l'angle
	<span style="white-space:nowrap">\((\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM})\).
	</span>
	</li>
	<li>
	Soit \(\theta_1\) un argument de \(z\). Alors \(\theta_2\) est un argument de
	 \(z\) si et seulement s'il existe un entier relatif \(k\) tel que
	  <span style="white-space:nowrap">\(\theta_2=\theta_1+2k\pi\).</span></li>
</ul>
</div>
<div class="wims_thm">
<div>
	<h4>Thorme 3</h4>
	Le plan est muni d'un repre orthonorm direct <span style="white-space:nowrap">
	\((\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\).</span>
</div>
<ul>
	<li>
	Pour tout nombre complexe non nul \(z\), il existe un unique nombre complexe
	 \(z_1\) de module 1 tel que <span style="white-space:nowrap">
	 \(z=\left\|z\right\| z_1\).</span>
	</li>
	<li>
	Soit \(z\) un nombre complexe non nul, \(z_1\) le nombre complexe de module 1
	 tel que <span style="white-space:nowrap">\(z=\left\|z\right\|z_1\).</span>
	<br>
 	Si \(\mathrm{M}\) et \(\mathrm{M}_1) sont les points d'affixes respectives
 	 \(z\) et \(z_1\), alors <span style="white-space:nowrap">
 	 \((\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}) =
 	 (\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM_1}) \quad [2\pi]\).
 	 </span>
	</li>
</ul>
</div>
<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition 2</h4>
Soit \(z\) un nombre complexe non nul, \(z_1\) le nombre complexe de module 1 tel
 que <span style="white-space:nowrap">\(z=\left\| z\right\| z_1\).</span>
<br>
On appelle <strong>argument</strong> de \(z\) tout argument de \(z_1\).
</div>
<div class="wims_rem">
La notation \(arg(z)\) dsigne n'importe quel argument du nombre complexe
 <span style="white-space:nowrap">\(z\).</span><br>
Un intervalle \(\mathrm{I}\) semi-ouvert de longueur \(2\pi\) tant donn, on peut
 construire une fonction <em>Arg</em> qui,  tout nombre complexe non nul, associe
  celui de ses arguments qui appartient  l'intervalle
   <span style="white-space:nowrap">\(\mathrm{I}\).</span>
</div>
<div class="wims_thm">
<h4>Thorme 4</h4>
Soit \(z\), \(z_1\) et \(z_2\) trois nombres complexes non nuls.
<ul>
	<li>
	\(\arg\left(\frac{1}{z}\right)=-\arg(z) \quad [2\pi]\)
	</li>
	<li>
	\(\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2) \quad [2\pi]\)
	</li>
	<li>
	\(\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2) \quad [2\pi]\)
	</li>
	<li>
	pour tout entier naturel \(n\), \(arg(z^n)=n\arg(z) \quad [2\pi]\)
	</li>
	<li>
	\(arg(\overline{z})=-\arg(z) \quad [2\pi]\)
	</li>
	<li>
	\(arg(-z)=\arg(z)+ \pi \quad [2\pi]\)
	</li>
</ul>
</div>
