!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=discrete_probability_distribution
!set gl_title=Loi binomiale (lyce)
!set gl_level=H5
:
:
:
:
<div class="wims_thm">
  <h4>
    Thorme
  </h4>
  <br/>
  Soit
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#8712;</mo>
    <mi>&#8469;</mi>
   </mrow>
  </math>
  et \(p\) un nombre rel tel que
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mi>p</mi>
    <mo>&#8712;</mo>
    <mrow>
     <mo>[</mo>
     <mrow>
      <mn>0</mn>
      <mo>;</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo>]</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>.
  <br/>
  Soit E une preuve de Bernoulli  deux issues
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
    <mi fontstyle='normal'>A</mi>
  </math>
  et
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mover>
    <mi fontstyle='normal'>A</mi>
    <mo>_</mo>
   </mover>
  </math>
  de probabilits respectives \(p\) et
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mi>q</mi>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
     <mn>1</mn>
     <mo>-</mo>
     <mi>p</mi>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>.
  <br/>
  Pour tout entier naturel \(k\) tel que
  \(0 \leqslant k \leqslant n\),
  la probabilit \(p_k\)
  que l'vnement A soit ralis exactement \(k\) fois  l'issue de \(n\) preuves indpendantes E est donne par
  </div>
  <div class="wimscenter">
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <msub>
     <mi>p</mi>
     <mi>k</mi>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
     <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mtable>
       <mtr>
        <mtd>
         <mi>n</mi>
        </mtd>
       </mtr>
       <mtr>
        <mtd>
         <mi>k</mi>
        </mtd>
       </mtr>
      </mtable>
      <mo>)</mo>
     </mrow>
     <mo>&#8290;</mo>
     <msup>
      <mi>p</mi>
      <mi>k</mi>
     </msup>
     <mo>&#8290;</mo>
     <msup>
      <mi>q</mi>
      <mrow>
       <mi>n</mi>
       <mo>-</mo>
       <mi>k</mi>
      </mrow>
     </msup>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>.
  </div>

<div class="wims_defn">
  <h4>
    Dfinition
  </h4>
  Soit \(n\) un entier naturel et
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mi fontstyle='normal'>&#937;</mi>
  </math>
  l'univers associ  une exprience alatoire, ensemble des entiers \(k\) tels que
  \(0 \leqslant k \leqslant n\).
  <br/>
  Soit \(p\) un nombre rel tel que
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mi>p</mi>
    <mo>&#8712;</mo>
    <mrow>
     <mo>[</mo>
     <mrow>
      <mn>0</mn>
      <mo>;</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo>]</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>.
  On pose
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mi>q</mi>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
     <mn>1</mn>
     <mo>-</mo>
     <mi>p</mi>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>.
  <br/>
  On appelle <strong>loi binomiale de paramtres \(n\) et \(p\)</strong> la loi de probabilit note
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mi>B</mi>
    <mo>&#8289;</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mi>n</mi>
     <mo>,</mo>
     <mi>p</mi>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>,
  dfinie sur
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mi fontstyle='normal'>&#937;</mi>
  </math>
  par
  </div>
  <div class="wimscenter">
    <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
     <mrow>
      <mrow>
       <mi>p</mi>
       <mo>&#8289;</mo>
       <mo>(</mo>
       <mrow>
        <mo>{</mo>
        <mi>k</mi>
        <mo>}</mo>
       </mrow>
       <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mo>=</mo>
      <mrow>
       <mrow>
        <mo>(</mo>
        <mtable>
         <mtr>
          <mtd>
           <mi>n</mi>
          </mtd>
         </mtr>
         <mtr>
          <mtd>
           <mi>k</mi>
          </mtd>
         </mtr>
        </mtable>
        <mo>)</mo>
       </mrow>
       <mo>&#8290;</mo>
       <msup>
        <mi>p</mi>
        <mi>k</mi>
       </msup>
       <mo>&#8290;</mo>
       <msup>
        <mi>q</mi>
        <mrow>
         <mi>n</mi>
         <mo>-</mo>
         <mi>k</mi>
        </mrow>
       </msup>
      </mrow>
     </mrow>
    </math>
    pour tout entier \(k\) tel que
    \(0 \leqslant k \leqslant n\).
</div>
<div class="wims_thm">
  <h4>
    Thorme
  </h4>
  Soit \(n\) un entier naturel,
  \(p\) un nombre rel tel que
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mi>p</mi>
    <mo>&#8712;</mo>
    <mrow>
     <mo>[</mo>
     <mrow>
      <mn>0</mn>
      <mo>;</mo>
      <mn>1</mn>
     </mrow>
     <mo>]</mo>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>
  et
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mi>B</mi>
    <mo>&#8289;</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mi>n</mi>
     <mo>,</mo>
     <mi>p</mi>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </math>
  la loi binomiale de paramtres \(n\) et \(p\).
  <br/>
  On pose
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
   <mrow>
    <mi>q</mi>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
     <mn>1</mn>
     <mo>-</mo>
     <mi>p</mi>
    </mrow>
   </mrow>
  </math>.
  <ul>
    <li>
      L'esprance mathmatique E de
      <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
       <mrow>
        <mi>B</mi>
        <mo>&#8289;</mo>
        <mo>(</mo>
        <mrow>
         <mi>n</mi>
         <mo>,</mo>
         <mi>p</mi>
        </mrow>
        <mo>)</mo>
       </mrow>
      </math>
      est
      <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
       <mrow>
        <mi fontstyle='normal'>E</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow>
         <mi>n</mi>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mi>p</mi>
        </mrow>
       </mrow>
      </math> ;
    </li>
    <li>
      La variance V de
      <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
       <mrow>
        <mi>B</mi>
        <mo>&#8289;</mo>
        <mo>(</mo>
        <mrow>
         <mi>n</mi>
         <mo>,</mo>
         <mi>p</mi>
        </mrow>
        <mo>)</mo>
       </mrow>
      </math>
      est
      <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
       <mrow>
        <mi fontstyle='normal'>V</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow>
         <mi>n</mi>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mi>p</mi>
         <mo>&#8290;</mo>
         <mi>q</mi>
        </mrow>
       </mrow>
      </math>.
    </li>
  </ul>
</div>
